Logika Matematika

(Dalam proses pembuatan)

Daftar Isi: Himpunan dan Pemetaan Himpunan Subset dan Superset Relasi dan Pemetaan Pernyataan Proposisi Premis Operator Logika Negasi Konjungsi dan Disjungsi Disjungsi Ekslusif Implikasi Biimplikasi Quantifier Argumen Ingkaran dari Pernyataan Berperangkai Modus Ponens Modus Tollens

1. Himpunan dan Pemetaan

Himpunan dan pemetaan.

1.a. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek-objek (elemen) dengan syarat tertentu. Objek-objek yang memenuhi syarat suatu himpunan dapat kita masukkan ke dalam himpunan tadi, misalkan sapi, kerbau, dan kambing merupakan elemen dari himpunan hewan bertanduk. Terkadang, syarat suatu himpunan tidak perlu diberikan secara eksplisit, kita cukup memberikan elemen-elemen dalam suatu himpunan.

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan tiap elemen-elemennya, semisal

A = {1, 2, 3, 5, 7, 11}
B = {lele, teri, tongkol}

A adalah himpunan yang beranggotakan 1, 2, 3, 5, 7, 11. Dapat kita tuliskan 2 ∈ A. Himpunan dapat pula dinyatakan dengan memberikan deskripsi/syarat himpunan

C = {x|x ∈ ℤ; 0 < x < 5}

1.b. Subset dan Superset

Dua atau lebih himpunan dapat digabung (union) atau saling beririsan (intersection). Misalkan himpunan manusia laki-laki digabung dengan himpunan manusia perempuan menjadi himpunan manusia. Secara matematis, gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ B. Adapun irisan himpunan A dan B adalah kelompok elemen-elemen yang merupakan anggota himpunan A sekaligus anggota himpunan B, secara matematis ditulis A ∩ B. Contohnya himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan prima beririskan di 2.

Dari definisi gabungan dan irisan itu, dapatlah kita temukan hubungan di antara keduanya

A ∪ B = A + B – A ∩ B

Selain itu, dikenal pula himpunan bagian (subset) dan himpunan induk (superset). Jika himpunan A (misalkan himpunan hewan mamalia) merupakan bagian dari himpunan B (misalkan himpunan hewan bertulang belakang), disebut A subset dari B, A ⊂ B atau B superset dari A, B ⊃ A.

1.c. Relasi dan Pemetaan

Relasi adalah aturan yang menghubungkan antara dua himpunan.

Pemetaan adalah relasi yang menghubungkan suatu daerah asal tepat sekali dengan daerah hasil. Pemetaan disebut juga sebagai fungsi. Misalkan untuk daerah asal X dengan x &element; X dan daerah hasil Y dengan y &element; Y, maka pemetaan dari X ke Y dapat dituliskan sebagai:

y = f(x)

2. Pernyataan

Pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang dapat memiliki nilai kebenaran. Pernyataan dapat berupa kalimat terbuka atau kalimat tertutup. Kebenaran suatu pernyataan dapat dinyatakan dalam ekspresi "benar" atau "salah", dapat pula menggunakan nilai "1" untuk pernyataan yang bernilai benar dan "0" untuk pernyataan yang bernilai salah.

2.a. Proposisi

Proposisi (kalimat tertutup) ialah pernyataan yang hanya dapat bernilai benar dan salah, tidak mungkin keduanya (benar tetapi juga salah) dan tidak mungkin juga bukan keduanya (tidak benar juga tidak salah). Oleh karena itu berlaku dikotomi untuk kebenaran suatu proposisi, yakni nilai “1” untuk nilai “benar” serta nilai “0” untuk nilai “salah”. Contoh pernyataan yang merupakan proposisi antara lain:

1. Sukarno ialah presiden pertama Republik Inonesia.
2. Asia ialah benua terkecil di dunia.
3. Diameter Bumi di katulistiwanya ialah (12.756,3 ± 0,1) km.
4. Penemu bola lampu pijar ialah Rene Descartes.

Contoh pernyataan yang bukan proposisi ialah:

1. Sayur pare rasanya sangat tidak enak.
2. Pulau Lombok lebih indah daripada Pulau Bali.
3. Rina lebih cantik daripada Rani.
4. Sidik itu tampan.

Pada kalimat proposisi, nilai kebenarannya hanya mungkin “benar” (seperti nomor 1 dan 3) atau “salah” (seperti nomor 2 dan 4). Pernyataan yang bukan proposisi (kalimat terbuka) hanya berupa opini yang kebenarannya bersifat subjektif.

Kadangkala, sebuah kalimat tidaklah jelas merupakan proposisi atau bukan. Misalnya, “Ruangan ini kotor” adalah sebuah opini, bukan proposisi. Tiap-tiap orang dapat setuju atau tidak setuju tentang kebenarannya. Tetapi jika kita mengatakan “Anjungan Pantai Losari kotor sekali setelah konser musik”, meskipun semua orang waras akan menyetujui kebenarannya, pernyataan ini tetap bukan merupakan proposisi

2.b. Premis

Premis adalah proposisi yang bernilai benar atau dianggap benar dan dijadikan landasan dalam proses penarikan kesimpulan.

3. Operator Logika

Operator logika ialah suatu perangkai yang dapat digunakan untuk merangkaikan dua atau lebih proposisi. Operator logika terdiri dari negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

3.a. Negasi

Negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan ialah pernyataan yang setara dengan tidak terpenuhinya pernyataan pertama. Bisa dikatakan ingkaran ialah keadaan tak terpenuhi dari suatu pernyataan. Jadi bila suatu pernyataan bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah, sedangkan bila suatu pernyataan bernilai salah, maka ingkarannya bernilai benar. Patut diingat bahwa ingkaran tidak sama dengan lawan, meskipun mereka berkaitan.

Contoh pada pernyataan.

A = Anto memakai baju berwarna putih.
B = Hujan turun.

Lawan dari pernyataan B ialah misalkan “Anto memakai baju berwarna hitam”, sedangkan ingkaran dari A (ditulis ¬A) ialah “Anto tidak memakai baju berwarna putih”. Jadi, ingkaran bersifat lebih umum daripada lawan suatu pernyataan. Anto tidak memakai baju berwarna putih bisa saja karena ia memakai baju berwarna hitam (kondisi lawan), tetapi bisa juga karena ia memakai baju berwarna kuning, biru, atau malah tidak memakai baju. Lawan dari pernyataan B ialah “Hujan naik”, sedangkan ingkaran dari B ialah “Hujan tidak turun”. Jelas bahwa lawan dari pernyataan B tidak logis.

Selanjutnya ditinjau ingkaran dari ingkaran atas suatu pernyataan. Misalkan diberikan suatu pernyataan A,

A = Kekuasaan presiden terbatas.
¬A = Kekuasaan presiden tidak terbatas.
¬(¬A) = Kekuasaan presiden tidak tak terbatas.

Perhatikanlah pernyataan ¬(¬A) yang berbunyi “Kekuasaan presiden tidak tak terbatas” memiliki arti yang sama dengan pernyataan A yang berbunyi “Kekuasaan presiden terbatas”. Jadi dapat dituliskan

¬(¬A) = A

Dalam matematika kita cukup akrab dengan pola ini, yakni negatif dikalikan dengan negatif hasilnya akan positif. Bagaimana hal ini bisa terjadi? Jika X pernyataan dengan sebuah kemungkinan, maka ¬X ialah pernyataan dengan banyak kemungkinan. Jika ¬(¬X) = X, bagaimana bisa ¬(¬X) kembali hanya memiliki satu kemungkinan? Kita ambil contoh dengan kondisi seideal mungkin.

Keadaan: Hanya ada tujuh benua di Bumi ini, yakni Asia, Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, dan Antartika. Parto terlahir di salah satu benua di muka Bumi ini.

X = Parto lahir di Benua Asia.
¬X = Parto tidak lahir di Benua Asia.

“Parto tidak lahir di Benua Asia” setara dengan “Parto lahir di Benua Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, atau Antartika”. Dengan demikian, negasi dari ¬X ialah:

¬(¬X) = Parto tidak tak terlahir di Benua Asia.

“Parto tidak tak terlahir di Benua Asia” setara dengan “Parto tidak lahir di Benua Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, atau Antartika”. Mengingat selain Eropa, Amerika Utara, Amerika Selatan, Afrika, Australia, dan Antartika tinggal Benua Asia yang tersisa, maka pastilah Parto terlahir di benua Asia.

¬(¬X) = Parto terlahir di Benua Asia. = X

3.b. Konjungsi dan Disjungsi

Konjungsi dan disjungsi merupakan logika keadaan bersyarat majemuk (lebih dari satu syarat). Jika syarat-syarat itu harus dipatuhi semuanya, maka hubungannya ialah konjungsi. Sedangkan jika satu saja syarat yang harus dipenuhi (boleh lebih tentunya) maka hubungannya ialah disjungsi. Hubungan konjungsi ditandai dengan perangkai “dan” sedangkan disjungsi ditandai dengan perangkai “atau”.

Dalam logika matematika, digunakan simbol “∧” untuk mengganti kata “dan”, serta digunakan simbol “∨” untuk mengganti kata “atau”. Misalkan dinamakan

A = saya mau makan burger
B = saya mau minum soda

Maka rangkaian konjungtif dari kedua klausa di atas menjadi:

Saya mau makan burger dan minum soda.

Dapat dinotasikan sebagai A ∧ B. Sedangkan rangkaian disjungtif dari kedua klausa tadi menjadi:

Saya mau makan burger atau minum soda.

Dapat dinotasikan sebagai A ∨ B. Berikut diberikan tabel kebenaran untuk konjungsi dan disjungsi.

X	Y	X ∧ Y	X ∨ Y
1	1	1	1
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	0

3.c. Disjungsi Ekslusif

Disjungsi ekslusif adalah disjungsi yang hanya membenarkan salah satu pilihan saja.

3.d. Implikasi

Implikasi merupakan suatu operator logika yang menunjukkan keadaan bersyarat atau hubungan sebab yang menghasilkan akibat. Implikasi ditandai dengan penanda verbal “jika [sebab], maka [akibat]” atau “if [antecedent], then [consequent]” atau simbol [sebab] ⇒ [akibat]. Misalkan “Jika X maka Y”, bila terjadi X maka pastilah terjadi Y. Agar lebih melekat dalam pemahaman Anda, mari kita ambil contoh dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kain disiram air, maka kainnya menjadi basah.

Kita berikan simbol X = kain disiram air dan Y = kain menjadi basah. Jadi kalimat di atas dapat dituliskan dalam notasi X ⇒ Y. Dari pernyataan ini dapat dianalisis:

1. Jika kain disiram air (X = 1), kainnya akan basah (Y = 1). Hal ini masuk akal.
2. Jika kain disiram air (X = 1), kainnya tidak basah (Y = 0). Hal ini tidak masuk akal.
3. Jika kain tidak disiram air (X = 0), kainnya basah (Y = 1). Hal ini mungkin saja dikarenakan sebab-sebab lain (misalnya kainnya direndam air atau kehujanan).
4. Jika kain tidak disiram air (X = 0), kainnya tidak basah (Y = 0). Hal ini mungkin saja jika sebab lain tidak muncul (kainnya tidak direndam, tidak kehujanan, dsb).

Dari analisis di atas diperoleh sebuah pernyataan implikasi hanya akan bernilai benar (masuk akal, mungkin) bila kejadiaan seperti pada poin 1, 3, dan 4. Sedangkan pernyataan implikasi bernilai salah (tidak mungkin terjadi) bila kejadiannya seperti pada poin 2. Dapat kita buat tabel kebenarannya.

X	Y	X ⇒ Y
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Patut dicamkan, pernyataan A &rArr B tidak sama dengan B &rArr A.

3.e. Biimplikasi

Jika implikasi berbentuk seperti pemetaan fungsi (tiap elemen dari daerah asal (sebab) hanya terpetakan sekali di daerah hasil (akibat)), maka bentuk biimplikasi merupakan pemetaan satu satu. Biimplikasi dinotasikan dengan A ⇔ B, menyatakan jika A maka B, dan jika B maka A. Secara verbal dapat diringkas sebagai “B terjadi jika dan hanya jika A terjadi”.

Pada ilustrasi di atas, Y = sakelar tertutup dan A = lampu menyala. Dapat kita berikan hubungan biimplikasi A ⇔ B, Lampu A menyala jika dan hanya jika sakelar Y tertutup. Jika sakelar Y tertutup pasti lampu A menyala, sebaliknya bila lampu A menyala pasti sakelar Y tertutup. Jadi biimplikasi menunjukkan sebab tunggal, sehingga berlaku sifat simetris, A ⇔ B ≡ B ⇔ A. Berikut ini tabel kebenaran dari biimplikasi.

X	Y	X ⇔ Y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Dalam teori matematika hal ini dapat muncul dari suatu pendefinisian matematis, semisal:

“Sebuah segitiga datar disebut segitiga siku-siku jika dan hanya jika salah satu sudut segitiga itu besarnya 90°.

Perhatikanlah bila salah satu sudut suatu segitiga datar 90°, maka ia pasti segitiga siku-siku. Hal sebaliknya pun berlaku, bila segitiga itu segitiga siku-siku maka pastilah salah satu sudutnya sebesar 90°. Hal ini sama sekali tidak luar biasa karena biimplikasi ini hanya menyangkut sebuah entitas dan definisinya, atau sebuah syarat dan penamaan bila syarat itu terpenuhi. Ini adalah sebuah kebenaran definitif dalam matematika – tidak mungkin keliru – karena kita sendiri yang menyepakatinya begitu. Bahkan Yang Maha Kuasa pun tak kan bisa melanggar kebenaran definitif dari matematika. Sang omnipotence sendiri tidak akan mungkin mampu menciptakan segitiga siku-siku yang tidak memiliki sudut 90°, karena semenjak segitiga itu tidak memiliki sudut 90° maka segitiga itu jelas bukan segitiga siku-siku.

Patut pula diingat bahwa biimplikasi
A ⇔ B
Bernilai sama dengan
¬A ⇔ ¬B

4. Quantifier

Kuantifikasi atau quantifier tidak menunjukkan nilai kualitas suatu kebenaran (benar atau salah), melainkan kuantitas dari terma yang dilekati. Dalam logika matematika terdapat dua macam kuantitas, yakni:

1. Kuantitas universal “semua” (“for all”), disimbolkan ∀.
2. Kuantitas eksistensial “ada” (“there exist”), disimbolkan ∃.

Kuantitas “semua” bersifat universal, yakni mencakup semua yang ada, tidak ada yang tidak. Sebaliknya kuantitas “ada” mencakup semua atau cuma sebagian (partikular), yang jelas di antaranya ada yang termasuk.

Contohnya, pernyataan “semua manusia pasti akan mati”. Kita berikan simbol
x = manusia
P(x) = pasti akan mati
Pernyataan di atas dapat ditulis dalam notasi (∀ x) P(x).

Contoh lainnya, misalkan x = bilangan, U(x) = "x adalah bilangan prima”, dan V(x) = "x adalah bilangan riil”, maka dapat dibuat pernyataan:

1. “Ada bilangan yang merupakan bilangan prima”.
   Dapat dituliskan dalam notasi (∃ x) U(x).
2. “Semua bilangan prima ialah bilangan riil” yang setara dengan “jika x bilangan prima, maka x ialah bilangan riil”.
   Dapat dituliskan dalam notasi (∀ x)(U(x) ⇒ V(x))

Ingkaran dari pernyataan yang memuat kuantitas "ada" ialah pernyataan yang memuat kuantitas "semua". Demikian pula sebaliknya, ingkaran dari pernyataan yang memuat kuantitas "semua" ialah pernyataan yang memuat kuantitas "ada". Sebagai contoh, ingkaran dari pernyataan "Semua manusia pasti akan mati" ialah "Ada manusia yang tidak akan mati". jadi, untuk membantah pernyataan "Semua manusia pasti akan mati" mesti dibuktikan ada (satu saja cukup) manusia yang tidak akan mati. Adapun ingkaran dari pernyataan "Ada babi yang bisa terbang" ialah "Semua babi tidak bisa terbang".

5. Argumen

Argumen adalah kumpulan dari beberapa pernyataan. Argumen biasanya terdiri atas beberapa premis dan konklusi dari premis-premis sebelumnya.

5.a. Ingkaran dari Pernyataan Berperangkai

X: A ∧ B
¬X : ¬A ∨ ¬B
Y: C ∨ D
¬Y : ¬C ∧ ¬D

5.b. Modus Ponens

Bila A ⇒ B bernilai benar dan A bernilai benar, maka pastilah B juga bernilai benar (perhatikan tabel kebenaran dari implikasi pada baris pertama). Dengan kata lain agar implikasi A⇒B bernilai benar bila A bernilai benar maka B harus bernilai benar. Konsep seperti ini disebut modus Ponens

A ⇒ B
A         
        B

5.c. Modus Tollens

Bila A ⇒ B bernilai benar, dan B bernilai salah, maka pastilah A juga bernilai salah (perhatikan tabel kebenaran dari implikasi pada baris terakhir)*. Dengan kata lain agar implikasi A⇒B bernilai benar bila B bernilai salah maka A harus bernilai salah. Konsep seperti ini disebut modus Tollens.

A ⇒ B
      ¬B
¬A
Selengkapnya...