Operator Nabla pada Koordinat Kartesian 3 Dimensi

Operasi nabla pada medan vektor/skalar dapat berupa gradien, \(\nabla f\), divergensi, \(\nabla \bullet \textbf{F}\) atau curl, \(\nabla \times \textbf{F}\). Operator nabla sendiri didefinisikan sebagai:

\begin{align} \nabla \equiv \widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \label{nabla} \end{align}

Operator nabla dapat dioperasikan pada fungsi skalar \(f\) maupun fungsi vektor \(\mathbf{F}\). Dalam ruang-3, fungsi skalar \(f\) dan fungsi vektor \(\mathbf{F}\) dalam koordinat kartesian 3 dimensi secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk

\begin{align} f &= f(x,y,z) \nonumber \\
\mathbf{F} &= F_x(x,y,z)\widehat{\textbf{i}} + F_y(x,y,z)\widehat{\textbf{j}} + F_z (x,y,z)\widehat{\textbf{k}} \nonumber \end{align}

Berikut ini diberikan secara ringkas operasi \(\nabla\) pada fungsi skalar dan vektor dalam koordinat kartesian.

1. Gradien Medan Skalar

Gradien dari suatu fungsi skalar \(f\) ialah fungsi kemiringan dari \(f\) di sembarang titik pada setiap arah.

\begin{align} \mathrm{grad}(f) \equiv \nabla f \label{graddef} \end{align}

Mengingat produk antara vektor dan skalar merupakan vektor maka gradien dari \(f\) adalah vektor. Misalkan untuk \(f = f(x,y,z)\),

\begin{align} \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial f}{\partial x}\hat{\mathbf{k}} \label{grad} \end{align}

Contoh untuk medan skalar \(f(x,y,z)=x^2y^3+x^3y^2-y^2z^4\).

\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= f_x(x,y,z)=2xy^3+3x^2z^2 \nonumber \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= f_y(x,y,z)=3x^2y^2-2yz^4 \nonumber \\
\frac{\partial f}{\partial z} &= f_z(x,y,z)=2x^3z-4y^2z^3 \nonumber \end{align}

dengan demikian, didapatkan

\begin{align} \nabla f(x,y,z) = (2xy^3+3x^2z^2)\hat{\mathbf{i}} + (3x^2y^2-2yz^4)\hat{\mathbf{j}} + (2x^3z-4y^2z^3)\hat{\mathbf{k}} \label{gradfC} \end{align}

2. Divergensi Medan Vektor

Divergensi dari suatu fungsi vektor \(\mathbf{F}\), \(\mathrm{div}(\mathbf{F})\) didefinisikan sebagai dot product antara \(\nabla\) dan \(\mathbf{F}\).

\begin{align} \mathrm{div}(\mathbf{F}) \equiv \nabla \bullet \mathbf{F} \label{divdef} \end{align}

Mengingat dot product dari dua vektor adalah skalar maka divergensi dari \(\mathbf{F}\) adalah skalar.

\begin{align} \nabla \bullet \mathbf{F} &= \left [\widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \right ] \bullet \left [\widehat{\textbf{i}} F_x + \widehat{\textbf{j}} F_y + \widehat{\textbf{k}} F_z \right ] \label{div0} \end{align}

Mengingat \(\hat{\mathbf{e}_i}\bullet\hat{\mathbf{e}_i} = \hat{\mathbf{i}}\bullet\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{j}}\bullet\hat{\mathbf{j}} = \hat{\mathbf{k}}\bullet\hat{\mathbf{k}} = 1\) dan \(\hat{\mathbf{e}_i}\bullet\hat{\mathbf{e}_j} = 0\) jika \(i \neq j\), maka persamaan (\ref{div0}) dapat dituliskan ulang sebagai.

\begin{align} \nabla \bullet \mathbf{F} &= \begin{pmatrix} F_x & F_y & F_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \nonumber \\
&= \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \label{div} \end{align}

Contoh untuk fungsi medan vektor \(\mathbf{F}(x,y,z)=(y+xe^{yz})\hat{\mathbf{i}}+(z+ye^{yz})\hat{\mathbf{j}}+(xy+ze^{yz})\hat{\mathbf{k}}\), sehingga

$$ F_x = (y+xe^{yz}),\: F_y=(z+ye^{yz}),\: F_z=(xy+ze^{yz}) $$

Diperoleh

\begin{align} \nabla \bullet F = e^{yz}+(e^{yz}+yz\, e^{yz})+(e^{yz}+yz\, e^{yz})=(3+2yz)e^{yz} \label{divFC} \end{align}

3. Curl Medan Vektor

Curl dari suatu fungsi vektor \(\mathbf{F}\), \(\mathrm{curl}(\mathbf{F})\) didefinisikan sebagai cross product antara \(\nabla\) dan \(\mathbf{F}\).

\begin{align} \mathrm{curl}(\mathbf{F}) \equiv \nabla \times \mathbf{F} \label{curldef} \end{align}

Mengingat cross product antara dua vektor juga merupakan vektor maka curl dari \(\mathbf{F}\) adalah vektor.

\begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \left [\widehat{\textbf{i}} \frac{\partial }{\partial x} + \widehat{\textbf{j}} \frac{\partial }{\partial y} + \widehat{\textbf{k}} \frac{\partial }{\partial z} \right ] \times \left [\widehat{\textbf{i}} F_x + \widehat{\textbf{j}} F_y + \widehat{\textbf{k}} F_z \right ] \label{curl0} \end{align}

Mengingat \(\hat{\mathbf{e}_i}\times\hat{\mathbf{e}_i} = 0\), \(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}} = -\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{k}}\), \(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}} = -\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}} = \hat{\mathbf{i}}\), dan \(\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}} = \hat{\mathbf{j}}\), maka persamaan (\ref{curl0}) dapat dituliskan ulang sebagai.

\begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \widehat{\textbf{i}} & \widehat{\textbf{j}} & \widehat{\textbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \nonumber \\
&= \left ( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right )\widehat{\textbf{i}} + \left ( \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} \right )\widehat{\textbf{j}} + \left ( \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right )\widehat{\textbf{k}} \label{curlF} \end{align}

Contoh untuk medan vektor yang sama dengan contoh sebelumnya, diperoleh,/p> \begin{align} \nabla \times F = (x-1+z^2\, e^{yz}-y^2\, e^{yz})\hat{\mathbf{i}}+(xy\, e^{yz}-y)\hat{\mathbf{j}}-(1+xz\, e^{yz})\hat{\mathbf{k}} \label{curlFC} \end{align}

4. Laplacian Medan Skalar

Laplacian dari fungsi skalar \(f\), dinotasikan \(\bigtriangleup f\) atau \(\nabla^2 f\) didefinisikan sebagai.

\begin{align} \bigtriangleup f \equiv \nabla \bullet (\nabla f) \label{Laplaciandef} \end{align}

Dengan demikian, Laplacian suatu fungsi skalar adalah skalar.

Misalkan untuk medan skalar \(f\) pada contoh sebelumnya. Berdasarkan definisi (\ref{Laplaciandef}), Laplacian dari \(f\) dapat diperoleh dengan mengambil divergensi dari persamaan (\ref{gradfC}).

\begin{align} \bigtriangleup f &= (2y^3+6xz^2) + (6x^2y-2z^4) + (2x^3-12y^2z^2) \nonumber \\
&= 2(x^3+y^3) + 6(x^2y+xz^2) - 2z^4 - 12y^2z^2 \nonumber \end{align}